فرض کنید مانند شکل مقابل، پاره‌خط $DE$ موازی ضلع $BC$ باشد.
می‌خواهیم نشان دهیم: $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$
(۱) از نقطهٔ $D$ به $C$ و از $E$ به $B$ وصل کنید. مساحت‌های مثلث‌های $DEC$ و $DEB$ که آن‌ها را با $S_{DEC}$ و $S_{DEB}$ نشان می‌دهیم، با هم برابرند. چرا؟
این فعالیت در حال اثبات **قضیهٔ تالس** است.
**دلیل برابری مساحت‌ها ($S_{DEB} = S_{DEC}$)**:
مساحت مثلث برابر است با: $$S = \frac{1}{2} \times \text{قاعده} \times \text{ارتفاع}$$
1. **قاعدهٔ مشترک**: دو مثلث $DEB$ و $DEC$ دارای **قاعدهٔ مشترک $DE$** هستند.
2. **ارتفاع مشترک**: دو مثلث $DEB$ و $DEC$ بین **دو خط موازی** ($DE \parallel BC$) محصور شده‌اند. بنابراین، فاصلهٔ عمودی بین این دو خط موازی، همان **ارتفاع مشترک** دو مثلث نسبت به قاعدهٔ $DE$ است.
چون دو مثلث، قاعدهٔ مشترک و ارتفاع مشترک دارند، مساحت‌های آن‌ها برابر است:
$$S_{DEB} = S_{DEC}$$
(۲) از نقطهٔ $E$ به ضلع $AB$ عمود کنید و پای عمود را $H_1$ بنامید. سپس از $D$ به ضلع $AC$ عمود کنید و پای عمود را $H_2$ بنامید.
این مرحله آماده‌سازی برای محاسبهٔ نسبت مساحت‌ها در مراحل بعدی است.
* **عمود $EH_1$**: $EH_1 \perp AB$. ($EH_1$ ارتفاع $\triangle ADE$ و $\triangle DEB$ نسبت به اضلاع $AD$ و $DB$ است.)
* **عمود $DH_2$**: $DH_2 \perp AC$. ($DH_2$ ارتفاع $\triangle ADE$ و $\triangle DEC$ نسبت به اضلاع $AE$ و $EC$ است.)
*(توجه: در متون ریاضی معمولاً از $H$ برای هر دو استفاده می‌شود، اما برای تمایز، در اینجا از $H_1$ و $H_2$ استفاده شد، هرچند که در ادامهٔ سؤال از $EH$ و $DH$ استفاده شده است.)*
(۳) $\frac{S_{ADE}}{S_{DEB}} = \frac{\frac{1}{2}EH \times AD}{\frac{1}{2}EH \times DB} = \frac{AD}{DB}$
در این مرحله، نسبت مساحت دو مثلث $\triangle ADE$ و $\triangle DEB$ که ارتفاع مشترک $EH$ دارند، محاسبه شده است.
**توضیح**:
* $\triangle ADE$ و $\triangle DEB$ دارای **ارتفاع مشترک** $EH$ نسبت به خط $AB$ هستند (اگر $AD$ و $DB$ را قاعده در نظر بگیریم).
* نسبت مساحت دو مثلث با ارتفاع مشترک، برابر با **نسبت قواعد متناظر** آن‌هاست.
$$\frac{S_{ADE}}{S_{DEB}} = \frac{\frac{1}{2}EH \times AD}{\frac{1}{2}EH \times DB} = \frac{AD}{DB}$$
(در اینجا $EH$ نشان‌دهندهٔ همان $EH_1$ در مرحلهٔ قبل است.)
(۴) $\frac{S_{ADE}}{S_{DEC}} = \frac{\frac{1}{2}DH \times AE}{\frac{1}{2}DH \times EC} = \frac{AE}{EC}$
در این مرحله، نسبت مساحت دو مثلث $\triangle ADE$ و $\triangle DEC$ که ارتفاع مشترک $DH$ دارند، محاسبه شده است.
**توضیح**:
* $\triangle ADE$ و $\triangle DEC$ دارای **ارتفاع مشترک** $DH$ نسبت به خط $AC$ هستند (اگر $AE$ و $EC$ را قاعده در نظر بگیریم).
* نسبت مساحت دو مثلث با ارتفاع مشترک، برابر با **نسبت قواعد متناظر** آن‌هاست.
$$\frac{S_{ADE}}{S_{DEC}} = \frac{\frac{1}{2}DH \times AE}{\frac{1}{2}DH \times EC} = \frac{AE}{EC}$$
(در اینجا $DH$ نشان‌دهندهٔ همان $DH_2$ در مرحلهٔ قبل است.)
(۵) از (۱) و (۳) و (۴) نتیجه می‌شود: $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$. چرا؟
این مرحله نتیجه‌گیری نهایی برای اثبات قضیهٔ تالس است.
**۱. از (۱) می‌دانیم**:
مساحت‌های دو مثلث با قاعدهٔ مشترک $DE$ که بین دو خط موازی $DE$ و $BC$ قرار دارند، برابر است:
$$(I) \quad S_{DEB} = S_{DEC}$$
**۲. از (۳) و (۴) می‌دانیم**:
$$\frac{AD}{DB} = \frac{S_{ADE}}{S_{DEB}} \quad (II)$$
$$\frac{AE}{EC} = \frac{S_{ADE}}{S_{DEC}} \quad (III)$$
**۳. جایگزینی**: با جایگزینی رابطهٔ $(I)$ در رابطهٔ $(III)$، خواهیم داشت:
$$\frac{AE}{EC} = \frac{S_{ADE}}{S_{DEB}} \quad (IV) \quad \text{زیرا } S_{DEC} = S_{DEB}$$
**۴. مقایسه**: از مقایسهٔ رابطه‌های $(II)$ و $(IV)$، که هر دو با یک کسر مساحت برابرند، نتیجه می‌شود:
$$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$$
**نتیجه**: پاره‌خطی که موازی یکی از اضلاع مثلث باشد، دو ضلع دیگر را به یک نسبت تقسیم می‌کند.
